My name is Jeff. 
Меня зовут Джеф.

I am a speech therapist. 
Я логопед

Your doctor asked me to help make sure you are eating and drinking things that are safe. 
Ваш врач попросил меня убедиться в том, что Вы едите и пьете то, что безопасно

The doctor wants to make sure you are not choking when you eat or drink and that you do not have food getting into your lungs.
Ваш врач желает удостовериться, что Вы не давитесь (задыхаетесь) во время еды и питья и что пища не попадет Вам в легкие.

Please open your mouth.
Пожалуйста, откройте рот

I want to make sure there is no food or liquid left that you might choke on.
Я хочу убедиться, что в нем нет остатков еды и питья, которыми Вы бы могли подавиться (задохнуться)

May I give you a small bite?
Позвольте дать Вам кусочек

May I give you a small drink?
Позвольте дать Вам глоток

Thank you for letting me help you.
Спасибо, что позволяете Вам помочь.